Question

【題目】在極坐標系中，已知圓C的圓心C（ ， ），半徑r= ．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）若α∈[0， ），直線l的參數方程為 （t為參數），直線l交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（ ， ）的直角坐標為（1，1），

∴圓C的直角坐標方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．

化為極坐標方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0

（2）解：將 代入圓C的直角坐標方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，

得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，

即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．

∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1t2=﹣1．

∴|AB|=|t1﹣t2|= =2 ．

∵α∈[0， ），∴2α∈[0， ），

∴2 ≤|AB|＜2 ．

即弦長|AB|的取值范圍是[2 ，2 ）

【解析】（1）先利用圓心坐標與半徑求得圓的直角坐標方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 進行代換即得圓C的極坐標方程．（2）設A，B兩點對應的參數分別為t1 ， t2 ， 則|AB|=|t1﹣t2|，化為關于α的三角函數求解．