Question

【題目】已知函數，其中是實數。設， 為該函數圖象上的兩點，且.

（1）若函數的圖象在點處的切線互相垂直，且，求的最小值；

（2）若函數的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用導數的幾何意義即可得到切線的斜率，因為切線互相垂直，可得，即．可得，再利用基本不等式的性質即可得出；（2）當或時，∵，故不成立，∴，分別寫出切線的方程，根據兩條直線重合的充要條件即可得出，記再利用導數即可得出．

試題解析：(1)由導數的幾何意義可知，點處的切線斜率為，點處的切線斜率為，故當處的切線與處的切線垂直時， ，當時，有，所以， ，所以，所以，當且僅當，即， 時，等號成立，所以的最小值為.

（2）當或時， ，所以，當時，函數圖象在點處的切線方程為，即，當時，函數圖象在點處的切線方程為，即，兩處切線重合的充要條件是，由及，得， ，記，則，所以在單調遞減， ， 趨近于時， 趨近于，所以，所以的取值范圍是.