Question

【題目】已知在數列{an}中，Sn為其前n項和，若an＞0，且4Sn=an2+2an+1（n∈N*），數列{bn}為等比數列，公比q＞1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差數列．

（1）求{an}與{bn}的通項公式；

（2）令cn= ，若{cn}的前項和為Tn，求證：Tn＜6．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據得遞推關系，化簡得 ，根據等差數列定義及通項公式得 ，由待定系數法求數列{bn}公比為2，再根據等比數列通項公式求bn=2n-1（2）利用錯位相減法求和 ，再證結論；利用錯位相減法求和時，注意相減時項的符號變化，中間部分利用等比數列求和時注意項數，最后要除以

試題解析：解：（1）由4Sn=an2+2an+1（n∈N*），n=1時，4a1=+2a1+1，解得a1=1．

n≥2時，4Sn-1=+2an-1+1，相減可得：4an=-，化為：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

又an＞0，∴an-an-1-2=0，即an-an-1=2，

∴數列{an}是等差數列，公差為2． ∴an=1+2（n-1）=2n-1．

b1=a1=1，∵2b2，b4，3b3成等差數列．

∴2b4=2b2+3b3．∴=2b2+3b2q，化為：2q2-3q-2=0，q＞1，解得q=2．

∴bn=2n-1．

（2）證明：cn==．

{cn}的前項和為Tn=1++…+， Tn=+…++，

∴Tn=1+2-=1+2×-，

∴Tn=6-＜6．