Question

【題目】設正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且a +2an=4Sn（n∈N*）．
（1）求an；
（2）設數列{bn}滿足：b1=1，bn= （n∈N* ， n≥2），求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a12+2a1=4S1=4a1，

解得a1=2，

當n＞1時，an﹣12+2an﹣1=4Sn﹣1，

又a +2an=4Sn（n∈N*）．

兩式相減可得，a ﹣an﹣12+2an﹣2an﹣1=4Sn﹣4Sn﹣1=4an，

即有（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）=2（an+an﹣1），

可得an﹣an﹣1=2，

則an=a1+2（n﹣1）=2n：

（2）解：b1=1，bn= = = （ ﹣ ），

前n項和Tn=1+ （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）

=1+ （ + ﹣﹣ ﹣ ）

= ﹣ ．

【解析】（1）令n=1，求得首項為2；再由n＞1時，將n換為n﹣1，相減可得an﹣an﹣1=2，再由等差數列的通項公式，計算即可得到所求；（2）求得bn= = （ ﹣ ），運用數列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．