Question

【題目】在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求異面直線與的距離．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．（3）

【解析】

根據(jù)已知條件以，，為，，軸建立按直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，(1)由各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出相應(yīng)向量，，代入向量夾角公式，即可求出異面直線，所成角的余弦值；

(2)先設(shè)平面的法向量為并求出法向量為，再利用直線與平面所成角為的正弦值即可求出；

(3) 連接交于點(diǎn)，連接，可得，即平面，所以異面直線與的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式即可求出距離.

解：以，，為，，軸建立按直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．如圖：

（1）所以，，

所以．

故異面直線和所成角的余弦值為．

（2），，設(shè)平面的法向量為．

則即，取，得．

設(shè)直線與平面所成角為，則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

（3）連接交于點(diǎn)，連接，易得，

所以平面，故點(diǎn)到平面的距離即為所求異面直線距離．

記點(diǎn)到平面的距離為，則．

所以異面直線與的距離為．