Question

已知函數（,）.
（Ⅰ）當時，求曲線在點處切線的方程；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）時，函數的單調增區間為；單調減區間為，.時, 函數的單調增區間為，;單調減區間為.（Ⅲ）          

試題分析：（Ⅰ））利用導數的幾何意義，在處切線的斜率為即為因為，所以當時，.，又，則曲線在處切線的方程為. （Ⅱ）利用導數求函數單調區間，需明確定義域，再導數值的符號確定單調區間. （1）若，當，即時，函數為增函數；當，即和時，函數為減函數. 若，當，即和時，函數為增函數；當，即時，函數為減函數.（Ⅲ）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉化為最值問題. 當時，要使恒成立，即使在時恒成立. 設，易得，從而.
（Ⅰ）,.
當時，.
依題意，即在處切線的斜率為.
把代入中，得.
則曲線在處切線的方程為.           .4分
（Ⅱ）函數的定義域為.
.
（1）若，
當，即時，函數為增函數；
當，即和時，函數為減函數.
（2）若，
當，即和時，函數為增函數；
當，即時，函數為減函數.
綜上所述，時，函數的單調增區間為；單調減區間為，.
時, 函數的單調增區間為，;單調減區間為.        .9分
（Ⅲ）當時，要使恒成立，即使在時恒成立. 設，則.可知在時，，為增函數；
時，，為減函數.則.從而.
另解：(1)當時，，所以不恒成立.
(2)當且時，由（Ⅰ）知，函數的單調增區間為，單調減區間為.所以函數的最小值為，依題意，
解得.
綜上所述，．                                     .13分