Question

【題目】數列{an}中，a1=2， （n∈N*）．
（1）證明數列 是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，若數列{bn}的前n項和是Tn ， 求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：數列{an}中，a1=2， （n∈N*），

= ，則數列 是首項為2，公比為 的等比數列；

則 =2（ ）n﹣1，

即為an=2n（ ）n﹣1

（2）解：證明： =

= ，

由2n=（1+1）n=1+n+ +…+ +1≥2n，

則4n≥4n2，

即有 ≤ = （ ﹣ ），

數列{bn}的前n項和是Tn= + + +…+

≤ （1﹣ + /span> ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）＜ ，

則 ．

【解析】（1）將原式兩邊除以n+1，結合等比數列的定義和通項公式，即可得證；（2）求得 = ，可得4n≥4n2 ， 即有 ≤ = （ ﹣ ），運用數列的求和方法：裂項相消求和，結合不等式的性質，即可得證．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．