Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，△PAB為正三角形．AB⊥AD，CD⊥AD，點E、M為線段BC、AD的中點，F，G分別為線段PA，AE上一點，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）確定點G的位置，使得FG∥平面PCD；
（2）試問：直線CD上是否存在一點Q，使得平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，若存在，求DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在AD上取AN= AD，過N作NG∥DC，交AE于G，連結FG，FN，

∵PF=2FA．可得FA= PA，所以FN∥PD，又NG∥DC，FN∩NG=N，PD∩DC=D，

可得平面FNG∥平面PCD，FG平面FNG，所以FG∥平面PCD

（2）解：作PO⊥AB于O，BA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，在平面ABCD內作AB的垂線為y軸，如圖：平面PAB的法向量為： =（0，1，0），

A（1，0，0），Q（λ，2，0），M（1，1，0），P（0，0， ），

則 =（﹣1，﹣1， ）， =（λ﹣1，1，0），

設平面PMQ的法向量為： =（x，y，z），

由 ，可得： ，令x=1，則y=1﹣λ，z= ，

平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，

可得：cos30°= = = ，

解得λ=3或 ．

此時DQ=2在CD的延長線上，或DQ= 在CD線段上．

【解析】（1）在AD上取AN= AD，過N作NG∥DC，交AE于G，連結FG，FN，利用平面與平面平行的判定定理證明平面FNG∥平面PCD，推出FG∥平面PCD．（2）作PO⊥AB于O，BA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，在平面ABCD內作AB的垂線為y軸，求出平面PAB的法向量，平面PMQ的法向量，利用平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°，求解得λ推出CD的大小．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．