Question

【題目】已知橢圓的離心率，橢圓C的上、下頂點分別為A1，A2，左、右頂點分別為B1，B2，左、右焦點分別為F1，F2.原點到直線A2B2的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2，分別交x軸于點N，M，若直線OT與以MN為直徑的圓G相切，切點為T.證明：線段OT的長為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）證明見解析；定值2

【解析】

（1）設a＝2m，cm，則b＝m.直線A2B2方程為mx﹣2my﹣2m2＝0.由點到直線距離公式能求出m＝1.由此能求出橢圓方程.

（2）由A1（0，1）A2（0，﹣1），設P（x0，y0），分別求出直線PA1和直線PA2，設圓G的圓心為，利用圓的性質能證明線段OT的長度為定值2；

（1）因為橢圓C的離心率e，故設a＝2m，cm，則b＝m.

直線A2B2方程為bx﹣ay﹣ab＝0，即mx﹣2my﹣2m2＝0.

所以，解得m＝1.

所以a＝2，b＝1，橢圓方程為y2＝1；

（2）由（1）可知A1（0，1）A2（0，﹣1），設P（x0，y0），

直線PA1：y﹣1x，令y＝0，得xN，

直線PA2：y+1x，令y＝0，得xM，

設圓G的圓心為，

則.

OG2.

OT2＝OG2﹣r2.

而y02＝1，所以x02＝4（1﹣y02），所以OT2＝4，

所以OT＝2，即線段OT的長度為定值2.