Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分別為BP，BE，PC的中點．
（1）求證：GH∥平面ADPE；
（2）M是線段PC上一點，且PM= ，求二面角C﹣EF﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵F，G，H分別為BP，BE，PC的中點，

∴GF∥PE，FH∥BC，

又四邊形ABCD是正方形，∴BC∥AD，

∴FH∥AD，又PE與AD為相交直線，GF與FH為相交直線，

∴平面FGH∥平面ADPE，

∵GH平面FGH，

∴GH∥平面ADPE

（2）解：以D為原點，以DA，DC，DP為坐標軸建立空間直角坐標系如圖：

則B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（2，0，1），P（0，0，2），F（1，1，1），

∴ =（﹣1，1，0）， =（﹣2，2，﹣1）， =（﹣2，0，1）， =（0，2，﹣2），

∵PC=2 ，PM= ，∴ = =（0， ，﹣ ），

∴ = =（﹣2， ，﹣ ），

設平面EFC的法向量為 =（x1，y1，z1），平面EFM的法向量的 =（x2，y2，z2），

則 ， ，

∴ ， ，

令x1=x2=1得 =（1，1，0）， =（1，1，﹣1），

∴cos＜ ， ＞= = = ．

∴二面角C﹣EF﹣M的余弦值為 ．

【解析】（1）利用中位線定理證明GF∥PE，FH∥BC，得出平面FGH∥平面ADPE，從而GH∥平面ADPE；（2）建立坐標系，求出平面EFC和平面EFM的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的大小．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．