Question

【題目】已知函數 ，函數 x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非負實數m、n，使得函數 的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴ ，

令u=mx2+2x+m，則 ，

當m=0時，u=2x， 的定義域為（0，+∞），不滿足題意；

當m≠0時，若 的定義域為R，

則 ，

解得m＞1，

綜上所述，m＞1

（2）

解： = ，x∈[﹣1，1]，

令 ，則 ，y=t2﹣2at+3，

∵函數y=t2﹣2at+3的圖象是開口朝上，且以t=a為對稱軸的拋物線，

故當 時， 時， ；

當 時，t=a時， ；

當a＞2時，t=2時，h（a）=ymin=7﹣4a．

綜上所述，

（3）

解： ，

假設存在，由題意，知

解得 ，

∴存在m=0，n=2，使得函數 的定義域為[0，2]，值域為[0，4]

【解析】（1）若 的定義域為R，則真數大于0恒成立，結合二次函數的圖象和性質，分類討論滿足條件的實數m的取值范圍，綜合討論結果，可得答案；（2）令 ，則函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3可化為：y=t2﹣2at+3， ，結合二次函數的圖象和性質，分類討論各種情況下h（a）的表達式，綜合討論結果，可得答案；（3）假設存在，由題意，知 解得答案．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．