Question

【題目】已知點P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（1）設過P直線l1與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以MN為直徑的圓Q的方程；
（2）設直線ax﹣y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圓心C（3，﹣2），半徑為3，

|CP|= ，而弦心距d= ，

所以d=|CP|= ，所以P為MN的中點，

所以所求圓的圓心坐標為（2，0），半徑為 |MN|=2，

故以MN為直徑的圓Q的方程為（x﹣2）2+y2=4

（2）解：把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．

由于直線ax﹣y+1=0交圓C于A，B兩點，

故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．

則實數a的取值范圍是（﹣∞，0）．

設符合條件的實數a存在，

由于l2垂直平分弦AB，故圓心C（3，﹣2）必在l2上．

所以l2的斜率kPC=﹣2，

∴kAB=a= ，

由于 ，

故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB

【解析】（1）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發現|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可；（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設符合條件的a存在，由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上，根據P與C的坐標即可求出l2的斜率，然后根據兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率，進而求出a的值，經過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設錯誤，故這樣的a不存在．