Question

【題目】已知函數f（x）=2sinxcos（x+ ）+ ．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）在區間[0， ]上的最大值及最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=2sinxcos（x+ ）+ =2sinx（ cosx﹣ sinx）+ =sinxcosx﹣ sin2x+

= sin2x﹣ + =sin（2x+ ）．

令2kπ+ ≤x≤2kπ+ ，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，可得函數的減區間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）解：在區間[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，

故當2x+ = 時，函數f（x）取得最大值為1；當2x+ = 時，函數f（x）取得最小值為﹣

【解析】（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性求得函數f（x）的單調遞減區間．（2）利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在區間[0， ]上的最值．
【考點精析】本題主要考查了正弦函數的單調性和三角函數的最值的相關知識點，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．