Question

【題目】如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）線段上是否存在點，使得平面？不需說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）（3）不存在

【解析】

（1）根據平行四邊形求得，再利用線面平行的判定定理得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求得余弦值；

（3）求得平面的法向量，證明得出平面與平面不可能垂直，得出不存在點G.

解：（1）因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．

因為，

所以平面．

（2）在平面ABEF內，過A作，因為平面 平面，

，，所以，

所以如圖建立空間直角坐標系．

由題意得，，，，，．

所以，．

設平面的法向量為 則 即

令，則，，所以

平面的一個法向量為

則 ．所以二面角的余弦值．

（3）線段上不存在點，使得平面，理由如下：

解法一：設平面的法向量為，

則 即

令，則，，所以．因為 ，

所以平面與平面不可能垂直，

從而線段上不存在點，使得平面．

解法二：線段上不存在點，使得平面，理由如下：

假設線段上存在點，使得平面，設，其中．

設，則有，

所以，，，從而，

所以．

因為平面，所以．所以有，

因為上述方程組無解，所以假設不成立．

所以線段上不存在點，使得平面．