Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形， ， ， ， ，側面底面.

（1）求證：平面平面；

（2）若與底面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）：取AB中點M，連接DM，可得DB⊥AD又側面SAD⊥底面ABCD，可得BD⊥平面SAD，即可得平面SBD⊥平面SAD（2）以D為原點，DA，DB所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標系，求出設面SCB的法向量為： ，面SBD的法向量為．利用向量即可求解．

解析：（1）因為， ，

所以， 是等腰直角三角形，

故，

因為， ，

所以∽，

，即，

因為側面底面，交線為，

所以平面，所以平面平面.

（2）過點作交的延長線于點，

因為側面底面，

所以底面，

所以是底面與底面所成的角，即，

過點在平面內作，

因為側面底面，

所以底面，

如圖建立空間直角坐標系，

設， ，

則， ，

設是平面法向量，

則

取，

設是平面的法向量，

則

取，

所以二面角的余弦值為.