Question

設m＞1，在約束條件

y≥x y≤mx x+y≤1

下，目標函數Z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為

（1，1+

2

）

．

Answer 1

分析：根據m＞1，我們可以判斷直線y=mx的傾斜角位于區間（

π

4

，

π

2

）上，由此我們不難判斷出滿足約束條件

y≥x y≤mx x+y≤1

的平面區域的形狀，再根據目標函數Z=x+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在直線y=mx與直線x+y=1交點處取得最大值，由此構造出關于m的不等式組，解不等式組即可求出m 的取值范圍．

解答：解：∵m＞1
故直線y=mx與直線x+y=1交于（

1

m+1

，

m

m+1

）點，
目標函數Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，
且在（

1

m+1

，

m

m+1

）點，取得最大值
其關系如下圖所示：
即

1+m2

m+1

＜2
又∵m＞1
解得m∈（1，1+

2

）
故答案為：（1，1+

2

）．

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，其中根據平面直線方程判斷出目標函數Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在（

1

m+1

，

m

m+1

）點取得最大值，并由此構造出關于m的不等式組是解答本題的關鍵．