Question

【題目】某市公園內(nèi)的人工湖上有一個(gè)以點(diǎn)為圓心的圓形噴泉，沿湖有一條小徑，在的另一側(cè)建有控制臺(tái)，和之間均有小徑連接(小徑均為直路)，且，噴泉中心點(diǎn)距離點(diǎn)60米，且連線恰與平行，在小徑上有一拍照點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得米， 米，且.

(I)請(qǐng)計(jì)算小徑的長(zhǎng)度；

(Ⅱ)現(xiàn)打算改建控制臺(tái)的位置，其離噴泉盡可能近，在點(diǎn)的位置及大小均不變的前提下，請(qǐng)計(jì)算距離的最小值；

(Ⅲ)一人從小徑一端處向處勻速前進(jìn)時(shí)，噴泉恰好同時(shí)開(kāi)啟，噴泉開(kāi)啟分鐘后的水幕是一個(gè)以為圓心，半徑米的圓形區(qū)域(含邊界)，此人的行進(jìn)速度是米/分鐘，在這個(gè)人行進(jìn)的過(guò)程中他會(huì)被水幕沾染，試求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)千米；(Ⅱ)；(Ⅲ)4.

【解析】

分析：(I) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸，過(guò)且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，，則AB所在直線即可表示，即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出答案；

(Ⅱ)三點(diǎn)共圓，可求圓的方程為， ，則距離最小值為圓心與C之間的距離減去半徑；

(Ⅲ) 因?yàn)?/span>在的正西方向，且千米，所以. 假設(shè)在時(shí)刻人所在的位置為，所以，則可表示，又在時(shí)， ，欲使這個(gè)人行進(jìn)的過(guò)程中會(huì)被水幕沾染，則存在，使得，化簡(jiǎn)即可得出答案.

解析：(I)以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸，過(guò)且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由千米， ，可知，直線的方程為，.所以直線的方程為，令，得，所以，千米；

(Ⅱ) 三點(diǎn)共圓，可求圓的方程為，，則距離最小值為 (此時(shí)點(diǎn)為直線與點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)之間劣弧的交點(diǎn))；

(Ⅲ)因?yàn)?/span>在的正西方向，且千米，所以.人從行駛到所需要的時(shí)間為 (分鐘)，假設(shè)在時(shí)刻人所在的位置為，則千米，所以，則 .

又在時(shí)， ，欲使這個(gè)人行進(jìn)的過(guò)程中會(huì)被水幕沾染，則存在，使得，即成立，所以存在，使得成立，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，即實(shí)數(shù)的最小值為4.