Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax（a為常數）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2＜ex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=ex﹣ax，

所以f（0）=1，即A（0，1），

由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，得a=2．

所以f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

令f′（x）=0，得x=ln2．當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以當x=ln2時，f（x）取得極小值，且極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）無極大值．

（2）解：令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x．

由（1）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，

故g（x）在R上單調遞增，又g（0）=1＞0，

因此，當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，

即x2＜ex．

【解析】（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求a的值及函數f（x）的極值；（2）構造函數g（x）=ex﹣x2 ， 求函數的導數，研究是的單調性和極值即可證明當x＞0時，x2＜ex ．