Question

（本小題滿分12分）
已知數列，滿足：，當時，；對于任意的正整數，
．設數列的前項和為.
（Ⅰ）計算、，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）求滿足的正整數的集合.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ） 

（1）由，當時，；令可求出猜想用數學歸納法證明.或者判斷數列是等差數列求解；（2）由和，兩式相減結合可求出錯位相減法求出，解不等式，即解得.
（Ⅰ）在中，取，得，又，故 
同樣取，可得 
由及兩式相減，可得，
所以數列的奇數項和偶數項各自成等差數列，公差為，而，
故是公差為的等差數列，   ……………………………………………… （6分）
(注：猜想而未能證明的扣分；用數學歸納法證明不扣分.)
（Ⅱ）在中，令，得
由與兩式相減，可得，
化簡，得.
即當時，.
經檢驗也符合該式，所以的通項公式為.
∴.
.
兩式相減，得.
利用等比數列求和公式并化簡,得.
可見，對，.經計算，，
注意到數列的各項為正，故單調遞增，
所以滿足的正整數的集合為  ……………………………… （12分）