Question

【題目】如圖，四棱豬ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E為棱AA1的中點．

（1）證明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，

AD=CD=1，A1A=AB=2，E為棱AA1的中點．

∴以點A為原點，AD，AA1，AB分別為x，y，zlm，建立空間直角坐標系，如圖，

依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．

則 =（1，0，﹣1）， =（﹣1，1，﹣1），

∵ =（1，0，﹣1）（﹣1，1，﹣1）=0．

∴B1C1⊥CE．

（2）

解： =（1，﹣2，﹣1），

設平面B1CE的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．∴ =（﹣3，﹣2，1）．

由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面CEC1，

故 =（1，0，﹣1）為平面CEC1的一個法向量，

cos＜ ＞= = =﹣ ，

∵二面角B1﹣CE﹣C1的平面角為銳角，

∴二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值為 ．

【解析】（1）由題意可知，AD，AB，AA1兩兩互相垂直，以a為坐標原點建立空間直角坐標系，標出點的坐標后，求出 和 ，由 =0得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．