Question

【題目】已知四棱錐，四邊形是正方形， ．

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）由可得，即，由為正方形，可得，從而得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）設的中點為，∵，∴，面面垂直的性質可得平面，在平面內，過作直線，則兩兩垂直，以為坐標原點， 所在直線為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，分別根據向量垂直數量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）∵，

∴，即，

又∵為正方形，∴，

∵，

∴平面，∵平面，∴平面平面；

（2）

設的中點為，∵，∴，

由（1）可知平面平面，且平面平面，

∴平面，

在平面內，過作直線，則兩兩垂直．

以為坐標原點， 所在直線為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，

則，

∴，

設平面的法向量為，

則， ，即，取，

設平面的法向量為，

則， ，即，取，

，由圖可知，二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.