Question

【題目】設橢圓的左右焦點分別為，，點滿足．

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；

(Ⅱ) 設直線與橢圓相交于兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接利用|PF2|=|F1F2|，對應的方程整理后即可求橢圓的離心率e；（Ⅱ）先把直線PF2與橢圓方程聯立求出A，B兩點的坐標以及對應的|AB|兩點，進而求出|MN|，再利用弦心距，弦長以及圓心到直線的距離之間的等量關系，即可求橢圓的方程

試題解析：(Ⅰ)設，．

因為，則，，

由，有，即，（舍去）或．

所以橢圓的離心率為．

(Ⅱ) 解．因為，所以，．所以橢圓方程為．

直線的斜率，則直線的方程為．

兩點的坐標滿足方程組

消去并整理得．則，．

于是 不妨設，．

所以．

于是．

圓心到直線的距離，

因為，所以，即，

解得（舍去），或．于是，．

所以橢圓的方程為．