Question

【題目】已知函數．

（I）若函數在點處的切線方程為，求的值；

（II）若在區間上，函數的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

試題分析：（I）求導再由切線方程得：；（II）令，再利用轉化思想將原命題等價轉化為在區間上恒成立．然后利用分類討論思想，并借助導數工具，求得:當時，函數的圖象恒在直線下方．

試題解析：（I）由題知，，………………1分

又，即，∴．………………2分

∴，∴．

所以切點為，代入切線方程得：，∴．………………4分

（II）令，則的定義域為．

在區間上函數的圖象恒在直線下方等價于在區間上恒成立．

∵，………………5分

令，得或．………………6分

①若，則．∴在上有，在上有．

∴在上遞減，在上遞增．

∴，

∴與在區間上恒成立相背，不符合題意．………………8分

②若時，則，∵在上有，∴在區間遞增．

∴,∴不符合題意．………………10分

③若，則，∵在區間上有，則在區間遞減．

∴在恒成立，要使在恒成立，只需．

∴，

∴．

綜上，當時，函數的圖象恒在直線下方．………………12分