Question

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（Ⅲ）若， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，結(jié)合切線與直線垂直，可求得的值；（Ⅱ）根據(jù)，令．對(duì)與分類討論可得：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況；（2）當(dāng)時(shí)， ，①當(dāng)時(shí)， ，②當(dāng)時(shí)， ，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況；（3）當(dāng)時(shí)， ，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：（1）當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)在上單調(diào)性，即可判斷出；（2）當(dāng)時(shí)，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)性，即可判斷出；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，研究其單調(diào)性，即可判斷.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，由在處的切線與直線垂直，

可知，所以；

（Ⅱ）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， ，

令， .

（i）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，方程的判別式.

①當(dāng)時(shí)， ， ， ，函數(shù)在單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)， ，設(shè)方程的兩根為， ，因?yàn)?/span>，

的對(duì)稱軸方程為，所以， ，由，

可得 .

所以當(dāng)時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（iii）當(dāng)時(shí)， ，由，可得，

當(dāng)時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， ,函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以時(shí)， ，符合題意；

②當(dāng)時(shí)， ，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)， ，符合題意；

③當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)?/span>時(shí)，所以 ，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，可得 ，而當(dāng)時(shí)， ，即此時(shí)，不符合題意.

綜上所述， 的取值范圍是.