Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線斜率為1，求函數在上的最值；

（2）令，若時， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當且時，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）證明過程見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據曲線在點處的切線斜率為1，可求出參數的值，再對導函數在的正負，求出在上單調性，即可求出 的最值；（Ⅱ）由，構造輔助函數，再對進行求導，討論的取值范圍，利用函數單調性判斷函數的最值，進而確定的取值范圍；（Ⅲ）構造輔助函數，求導，求出在的單調性，可求出的最小值，即可證明不等式成立.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，

∴，記，∴，令得．

當時， 單減；當時， 單增，

∴，

故恒成立，所以在上單調遞增，

∴．

（Ⅱ）∵，∴．

令，∴，

當時， ，∴在上單增，∴．

（i）當即時， 恒成立，即，∴在上單增，

∴，所以．

（ii）當即時，∵在上單增，且，

當時， ，

∴，使，即．

當時， ，即單減；

當時， ，即單增．

∴，

∴，由，∴，記，

∴，∴在上單調遞增，

∴，∴，

綜上， ．

（Ⅲ）等價于，

即．

∵，∴等價于．

令，

則．

∵，∴．

當時， ， 單減；

當時， ， 單增．

∴在處有極小值，即最小值，

∴，

∴且時，不等式成立．