Question

在△ABC中，a、b、c分別表示三個內角A、B、C的對邊，如果（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），判斷三角形的形狀.

Answer 1

△ABC為等腰或直角三角形

解析:

方法一  已知等式可化為

a²［sin（A-B）-sin（A+B）］=b²［-sin（A+B）-sin(A-B)］

∴2a²cosAsinB=2b²cosBsinA

由正弦定理可知上式可化為：

sin²AcosAsinB=sin²BcosBsinA

∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0

∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2

得2A=2B或2A=-2B,

即A=B或A=-B,∴△ABC為等腰或直角三角形.

方法二  同方法一可得2a²cosAsinB=2b²sinAcosB

由正、余弦定理,可得

a²b= b²a 

∴a²(b²+c²-a²)=b²(a²+c²-b²)

即(a²-b²)(a²+b²-c²)=0

∴a=b或a²+b²=c²

∴△ABC為等腰或直角三角形.