Question

【題目】某學校為調查高三年學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））．已知圖（1）中身高在170～175cm的男生人數有16人．

（Ⅰ）試問在抽取的學生中，男、女生各有多少人？
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，完成下列的2×2列聯表，并判斷能有多大（百分幾）的把握認為“身高與性別有關”？

	≥170cm	＜170cm	總計
男生身高
女生身高
總計

（Ⅲ）在上述80名學生中，從身高在170～175cm之間的學生中按男、女性別分層抽樣的方法，抽出5人，從這5人中選派3人當旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．
參考公式：K2=
參考數據：

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直方圖中，
∵身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，
設男生數為n1 ， 則0.4=，得n1=40．
由男生的人數為40，得女生的人數為80﹣40=40．
（Ⅱ）男生身高≥170cm的人數=（0.08+0.04+0.02+0.01）×5×40=30，女生身高≥170cm的人數0.02×5×40=4，所以可得到下列列聯表：

	≥170cm	＜170cm	總計
男生身高	30	10	40
女生身高	4	36	40
總計	34	46	80

∴能有99.9%的把握認為身高與性別有關；
（Ⅲ）在170～175cm之間的男生有16人，女生人數有4人．
按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人．
設男生為A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， 女生為B．
從5人任選3名有：（A1 ， A2 ， A3），（A1 ， A2 ， A4），（A1 ， A2 ， B），（A1 ， A3 ， A4），（A1 ， A3 ， B），（A1 ， A4 ， B），（A2 ， A3 ， A4），（A2 ， A3 ， B），
（A2 ， A4 ， B），（A3 ， A4 ， B），共10種可能，
3人中恰好有一名女生有：（A1 ， A2 ， B），（A1 ， A3 ， B），（A1 ， A4 ， B），（A2 ， A3 ， B），（A2 ， A4 ， B），（A3 ， A4 ， B），共6種可能，
故所求概率為．
【解析】（Ⅰ）由直方圖中身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，可得男生數為40．由男生的人數為40，得女生的人數為80﹣40=40；
（Ⅱ）求出男生身高≥170cm的人數，女生身高≥170cm的人數，得到2×2列聯表，求出k2 ， 則答案可求；
（Ⅲ）求出在170～175cm之間的男生有16人，女生人數有4人．再由分層抽樣的方法抽出5人，得到男生占4人，女生占1人．然后利用枚舉法得到選派3人的方法種數，求出3人中恰好有一名女生的種數，利用古典概率模型計算公式得答案．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息才能正確解答此題．