Question

【題目】設，函數，函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】分析：（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）令，利用導數研究函數的單調性，可得當時，關于的不等式不能恒成立，當時，函數的最大值為，因為，又易知在是減函數,所以當時，,從而可得結果.

詳解：（1）函數的定義域是，，

當時，，所以在區間上為減函數，

當時，令，則，當時，，為減函數，

當時，，為增函數，

所以當時，在區間上為減函數；當時，在區間上為減函數，在區間為增函數.

（2）令，

所以

當時，因為，所以，

所以在上是增函數，又因為

所以關于的不等式不能恒成立

當時，

令，得

當時，；當時，

因此函數在是增函數，在是減函數.

故函數的最大值為

令（），因為，

又易知在是減函數

所以當時，

所以整數的最小值為2.