Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點，O為原點，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程．

Answer 1

（1）證明：由題意知，直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0．
曲線C的方程配方得（x-1）²+（y-1）²=1，
∴直線l與圓C相切的充要條件是1=

|a+b-ab|

a2+b2

，
整理得ab-2a-2b+2=0，
即（a-2）（b-2）=2；
（2）設AB的中點為M（x，y），
則由中點坐標公式得：a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得
（2x-2）（2y-2）=2，
即 （x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1），
∴線段AB中點的軌跡方程為：（x-1）（y-1）=

1

2

（其中x＞1，y＞1）．