Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣m（x+1）ln（x+1）（m＞0）的最大值是0，函數g（x）=x﹣a（x2+2x）（a∈R）． （Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若當x≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， f′（x）=1﹣m[ln（x+1）+1]
因為m＞0，所以f′（x）在（﹣1，+∞）上單調遞減．
令f′（x）=0，得
當 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當 時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
所以，當 時， =
于是， ，得
易知，函數y=ex﹣1﹣x在x=1處有唯一零點，所以 ，m=1．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x2+2x）﹣（x+1）ln（x+1），x≥0
則F′（x）=a（2x+2）﹣[ln（x+1）+1]
設h（x）=F′（x）=a（2x+2）﹣[ln（x+1）+1]
則
①當a≤0時，h′（x）＜0，F′（x）在[0，+∞）上單調遞減，
則x∈[0，+∞）時，F′（x）≤F′（0）=2a﹣1＜0，F（x）在[0，+∞）上單調遞減，
故當x∈[0，+∞）時，F（x）≤F（0）=0，與已知矛盾．
②當 時， ，
當 時，h′（x）＜0，F′（x）在 上單調遞減，
則 時，F′（x）＜F′（0）=2a﹣1＜0
故F（x）在 上單調遞減，
則當 時，F（x）＜F（0）=0，與已知矛盾．
③當 時，h′（x）＞0，F′（x）在[0，+∞）上單調遞增，
則x∈[0，+∞）時，F′（x）≥F′（0）=2a﹣1＞0
所以F（x）在[0，+∞）上單調遞增，
故當x∈[0，+∞）時，F（x）≥F（0）=0恒成立．
綜上，實數a的取值范圍是 ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，根據函數的單調性求出f（x）的最大值，得到關于m的方程，求出m的值即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x），求出函數的導數，通過討論a的范圍，得到函數的單調區間，結合函數恒成立問題，求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．