Question

（2010•宿州三模）已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，△ABD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA的中點，AD=2BC=2

2

，PA=3PD=3．
（1）求證：BE∥平面PDC；
（2）求證：AB⊥平面PBD；
（3）求三棱錐B-DEP的體積．

Answer 1

分析：（1）取PD中點F，連EF、CF，證明四邊形BCFE為平行四邊形，然后證明BE∥平面PDC；
（2）通過計算說明PD⊥AD，利用平面與平面的垂直，證明PD⊥AB，即可證明AB⊥平面PBD；
（3）三棱錐B---DEP的體積，轉(zhuǎn)化為

1

2

VA-PDB，求出S△PBD，即可求出三棱錐的體積．

解答：證明：（1）取PD中點F，連EF、CF，則EF∥AD且EF=

1

2

AD，
由題意四邊形BCFE為平行四邊形，∴BE∥CF，
∵BE?平面PDC，CF?平面PDC，
∴BE∥平面PDC；          …（4分）
（2）由題意：AD=2BC=2

2

，PA=3PD=3．
∵AD²+PD²=AP²∴PD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥面ABCD，
∴PD⊥AB，又∴BD⊥AB，
∴AB⊥面PBD；                       …（8分）
解：（3）四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，△ABD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA的中點，AD=2BC=2

2

，PA=3PD=3．PD=1，DB=2，S△PDB=

1

2

×1×2=1．
VE-PDB=

1

2

VA-PDB=

1

2

×

1

3

S△PBD×AB=

1

2

×

1

3

×1×2=

1

3

…（12分）

點評：本題考查直線與平面的平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面垂直判斷定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．