Question

設橢圓C₁:+=1(a>b>0),拋物線C₂:x²+by=b².

(1)若C₂經過C₁的兩個焦點,求C₁的離心率;
(2)設A(0,b),Q（3,b）,又M,N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B（0,b）,且△QMN的重心在C₂上,求橢圓C₁和拋物線C₂的方程.

Answer 1

（1）  （2）+=1    x²+2y=4

解:(1)因為拋物線C₂經過橢圓C₁的兩個焦點F₁(-c,0),F₂(c,0),
可得c²=b²,
由a²=b²+c²=2c²,
有=,
所以橢圓C₁的離心率e=.
(2)由題設可知M,N關于y軸對稱,
設M(-x₁,y₁),N(x₁,y₁)(x₁>0),
則由△AMN的垂心為B,有·=0.
所以-+（y₁-b）(y₁-b)=0.①
由于點N(x₁,y₁)在C₂上,
故有+by₁=b².②
由①②得y₁=-或y₁=b(舍去),
所以x₁=b,
故M（-b,-）,N（b,-）,
所以△QMN的重心坐標為（,）.
由重心在C₂上得3+=b²,
所以b=2,
M（-,-）,N（,-）.
又因為M,N在C₁上,
所以+=1,
解得a²=.
所以橢圓C₁的方程為+=1.
拋物線C₂的方程為x²+2y=4.