Question

在直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，則

c

a+b

的取值范圍是

[

2

2

，1）

．

Answer 1

分析：所求式子利用正弦定理化簡，將C度數及B=90°-A代入，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可確定出范圍．

解答：解：在Rt△ABC中，斜邊為c，兩條直角邊為a，b，
可得∠C=90°，∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：

c

a+b

=

sinC

sinA+sinB

=

sin90°

sinA+sinB

=

1

sinA+cosA

=

1

2 sin(A+45°)

，
∵A∈（0，90°），∴A+45°∈（45°，135°），
∴sin（A+45°）∈（

2

2

，1]，
則

c

a+b

的取值范圍是[

2

2

，1）．
故答案為：[

2

2

，1）

點評：此題考查了正弦定理的應用，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．