Question

（2013•泗陽縣模擬）在直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊和斜邊上的高分別為c、h，則

c+h

a+b

的取值范圍是

（1，

3 2

4

]

．

Answer 1

分析：根據勾股定理和三角形面積公式，將

c+h

a+b

化為關于a、b的表達式，利用基本不等式可得

c+h

a+b

＞1．再設

ab

(a+b)2

=t，則可將

c+h

a+b

表示成關于t的函數f（t），研究f（t）的單調性得到在區間（0，

1

4

）上f（t）是增函數，從而得到f（t）的最大值是f（

1

4

）=

3 2

4

．由此即可得到

c+h

a+b

的取值范圍．

解答：解：∵直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，
∴斜邊c=

a2+b2

，斜邊上的高h=

ab

c

=

ab

a2+b2

，
因此，

c+h

a+b

=

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

∵

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

≥

2 a2+b2 × ab a2+b2

a+b

=

2 ab

a+b

，

2 ab

a+b

≥1
∴

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

＞1（等號取不到），即

c+h

a+b

＞1
又

a2+b2 + ab a2+b2

a+b

=

a2+b2 (a+b)2

+

ab (a+b)2

•

ab

a2+b2

設

ab

(a+b)2

=t，則

a2+b2 (a+b)2

=

1-2t

，

ab (a+b)2

=

t 1-2t

可得f（t）=

1-2t

+

t

1-2t

，（0＜t≤

1

4

）
∵在區間（0，

1

4

）上f'（t）＞0，
∴f（t）在區間（0，

1

4

）上是增函數，可得當0＜t≤

1

4

時，f（t）的最大值為f（

1

4

）=

3 2

4

綜上所述，

c+h

a+b

的取值范圍是（1，

3 2

4

]
故答案為：（1，

3 2

4

]

點評：本題在直角三角形中，求斜邊與斜邊上高之和與兩條直角邊之和的比值范圍．著重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函數的單調性等知識，屬于中檔題．