Question

在直角△ABC中，兩直角邊的長分別為a，b，直角頂點C到斜邊的距離為h，則易證

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

．在四面體SABC中，側棱SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，點S到平面ABC的距離為h，類比上述結論，寫出h與a，b，c的等式關系并證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．

解答：解：類比得到：

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

過S作△ABC所在平面的垂線，垂足為O，
連接CO并延長交AB于D，連接SD，
∵SO⊥平面ABC，
∴SO⊥AB
∵SC⊥SA，SC⊥SB，
∴SC⊥平面SAB，
∴SC⊥AB，SC⊥SD，
∴AB⊥平面SCD，
∴AB⊥SD
在Rt△ABS中，有

1

SD2

=

1

a2

+

1

b2

在Rt△CDS中，有

1

h2

=

1

SD2

+

1

c2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．（3）對猜想的結論進行論證．