Question

【題目】在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足 = ．
（1）求角A的大小；
（2）若a= ，△ABC的面積S△ABC=3 ，求b+c的值，；
（3）若函數f（x）=2sinxcos（x+ ），求f（B）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足 = ，

∴ = ，

整理，得bc=b2+c2﹣a2，

∴cosA= = = ，

∴A= ．

（2）解：∵a= ，△ABC的面積S△ABC=3 ，A= ，

∴S△ABC= =3 ，解得bc=12，

cosA= = = ，解得b2+c2=25，

∴（b+c）2=b2+c2+2bc=25+24=49，

∴b+c=7

（3）解：∵f（x）=2sinxcos（x+ ）

=2sinx（cosxcos ﹣sinxsin ）

= sinxcosx﹣sin2x

= sin2x﹣

= sin2x+ cos2x﹣

=cos sin2x+sin cos2x﹣

=sin（2x+ ）﹣ ，

∵A= ，∴銳角△ABC中，B∈（0， ），∴2B+ ∈（ ， ），

f（B）=sin（2B+ ）﹣ ，

當2B+ = 時，f（B）max=1﹣ = ，

當2B+ = 時，f（B）min=﹣ ﹣ =﹣ ﹣ ．

∴f（B）的取值范圍是（﹣ ， ）

【解析】（1）利用余弦定理推導出bc=b2+c2﹣a2，從而求出cosA= ，進而能求出A．（2）由S△ABC= =3 ，得bc=12，由余弦定理求出b2+c2=25，從而求出（b+c）2，進而求出b+c的值．（3）由f（x）=2sinxcos（x+ ）=sin（2x+ ）﹣ ，A= ，得2B+ ∈（ ， ），由此能求出f（B）=sin（2B+ ）﹣ 的取值范圍．