Question

【題目】△ABC的三個內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個條件： ⑴（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab
⑵sinA=2cosBsinC
⑶b=acosC，c=acosB
⑷
有兩個結論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結論中的一個為結論，寫出一個你認為正確的命題 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙
【解析】解：由（1）（2）為條件，甲為結論，得到的命題為真命題，理由如下：

證明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，變形得：

a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，

則cosC= = ，又C為三角形的內角，

∴C=60°，

又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，

即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，

∵﹣π＜B﹣C＜π，

∴B﹣C=0，即B=C，

則A=B=C=60°，

∴△ABC是等邊三角形；

以（2）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：

證明：化簡得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，

即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，

∵﹣π＜B﹣C＜π，

∴B﹣C=0，即B=C，

∴b=c，

由正弦定理 = = =2R得：

sinA= ，sinB= ，sinC= ，

代入 得：

2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，

整理得：a2﹣b2= ab﹣b2，即a2= ab，

∴a= b，

∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，

∴a2=b2+c2，

∴∠A=90°，

則三角形為等腰直角三角形；

以（3）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：

證明：由正弦定理 = = =2R得：

sinA= ，sinB= ，sinC= ，

代入 得：

2R（ ﹣ ）=（ a﹣b） ，

整理得：a2﹣b2= ab﹣b2，即a2= ab，

∴a= b，

∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，

∴a2=b2+c2，

∴∠A=90°，

又b=acosC，c=acosB，

根據正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，

∴ = ，即sinBcosB=sinCcosC，

∴sin2B=sin2C，又B和C都為三角形的內角，

∴2B=2C，即B=C，

則三角形為等腰直角三角形．

所以答案是：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙

【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．