Question

【題目】設橢圓中心在坐標原點，A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（Ⅰ）若 ，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題設得橢圓的方程為 ，
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如圖，

設D（x0 ， kx0），E（x1 ， kx1），F(xiàn)（x2 ， kx2），其中x1＜x2 ，
且x1 ， x2滿足方程（1+4k2）x2=4，
故 ．①
由 知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得 ；
由D在AB上知x0+2kx0=2，得 ．
所以 ，
化簡得24k2﹣25k+6=0，
解得 或 ．
（Ⅱ）由題設，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1 ， kx1），F(xiàn)（x2 ， kx2），
不妨設y1=kx1 ， y2=kx2 ， 由①得x2＞0，根據(jù)E與F關于原點對稱可知y2=﹣y1＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF
= （﹣y1）
=
=x2+2y2
= = = ，
當x2=2y2時，上式取等號．所以S的最大值為
【解析】（1）依題可得橢圓的方程，設直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x0 ， kx0），E（x1 ， kx1），F(xiàn)（x2 ， kx2），且x1 ， x2滿足方程（1+4k2）x2=4，進而求得x2的表達式，進而根據(jù) 求得x0的表達式，由D在AB上知x0+2kx0=2，進而求得x0的另一個表達式，兩個表達式相等求得k．（Ⅱ）由題設可知|BO|和|AO|的值，設y1=kx1 ， y2=kx2 ， 進而可表示出四邊形AEBF的面積進而根據(jù)基本不等式的性質求得最大值．
【考點精析】通過靈活運用向量的共線定理，掌握設，，其中，則當且僅當時，向量、共線即可以解答此題．