Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD= AC=2，∠ACB=∠ACD= ．
（1）證明：AP⊥BD；
（2）若AP= ，AP與BC所成角的余弦值為 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ACB=∠ACD= ，BC=CD．∴BD⊥AC．

∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

∴BD⊥平面PAC，

∴BD⊥AP

（2）解：連接BD與AC相交于點E，

∵BC=CD= ，∠ACB=∠ACD= ．

則BD⊥AC，

又BD⊥平面PAC，分別以EB，EC為x，y軸，過點E與平面ABCD垂直的直線為z軸，則z軸平面APC．

可得B（ ，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣3，0），設P（0，y， ），

=（﹣ ，1，0）， =（0，y+3， ）．

∵AP與BC所成的余弦值為 ，

∴ = = = ，﹣3≤y≤0，解得y=﹣1．

∴P（0，﹣1， ），

∴ =（﹣ ，﹣1， ）， =（ ，3，0），

設平面ABP的法向量為 =（x，y，z），

則 ，∴ ，

取 = ．

同理可得：平面BPC的法向量 = ．

∴ = = = ．

∵二面角A﹣BP﹣C的平面角為鈍角，

∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值為- ．

【解析】（1）由∠ACB=∠ACD= ，BC=CD．可得BD⊥AC．再利用面面垂直的性質可得BD⊥平面PAC，即可證明．（2）連接BD與AC相交于點E，由于BC=CD= ，∠ACB=∠ACD= ．可得BD⊥AC，又BD⊥平面PAC，分別以EB，EC為x，y軸，過點E與平面ABCD垂直的直線為z軸，則z軸平面APC．設P（0，y， ），由于AP與BC所成的余弦值為 ，可得 = = ，﹣3≤y≤0，解得y．可得P坐標，設平面ABP的法向量為 =（x，y，z），利用 ，可得 ，同理可得平面BPC的法向量 ，利用 = 即可得出．