Question

【題目】已知函數f（x）=|x+a|+|x+ |（a＞0）
（1）當a=2時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+ |＞3．

而|x+2|+|x+ |表示數軸上的x對應點到﹣2、﹣ 對應點的距離之和，

而0和﹣3對應點到﹣ 、 對應點的距離之和正好等于3，

故不等式f（x）＞3的解集為{x|x＜﹣ ，或 x＞ }．

（2）證明：∵f（m）+f（﹣ ）=|m+a|+|m+ |+|﹣ +a||﹣ + |

=（|m+a|+|﹣ +a|）+（|m+ |+|﹣ + |）≥2（|m+ |）=2（|m|+| |）≥4，

∴要證得結論成立．

【解析】（1）當a=2時，求不等式即|x+2|+|x+ |＞3，再利用對值的意義求得它的解集．（2）由條件利用絕對值三角不等式、基本不等式，證得要證的結論．
【考點精析】掌握基本不等式是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．