Question

【題目】如圖,在四棱錐中,是等腰三角形,且.四邊形是直角梯形,,,,,.

（Ⅰ）求證:平面;

（Ⅱ）當平面 平面時,求四棱錐的體積;

（Ⅲ）請在圖中所給的五個點中找出兩個點,使得這兩點所在的直線與直線垂直,并給出證明.

Answer 1

【答案】(1)見解析； （2） ； （3）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知AB∥DC，直接利用線面平行的判定證明AB∥平面PDC；（Ⅱ）取BC中點D，由

PB=PC，可得PD⊥BC，結合面面垂直的性質可得PD⊥平面ABCD，則PD為四棱錐P﹣ABCD的

高，求出底面直角梯形的面積，代入棱錐體積公式求四棱錐P﹣ABCD的體積；（Ⅲ）圖中PA

⊥BC．由（Ⅱ）知，PD⊥BC，作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，再求

解三角形可得AD⊥BC，由線面垂直的判定可得BC⊥平面PAD，從而得到PA⊥BC．

（Ⅰ）證明：∵AB∥DC，且DC平面PDC，AB平面PDC，

∴AB∥平面PDC；

（Ⅱ）解：取BC中點D，∵PB=PC，∴PD⊥BC，

又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴PD⊥平面ABCD，則PD為四棱錐P﹣ABCD的高，

在底面直角梯形ABCD中，由AB=5，AD=4，DC=3，

得，且BC=．

又PB=PC=3，∴PD=．

∴；

（Ⅲ）解：圖中PA⊥BC．

證明如下：由（Ⅱ）知，PD⊥BC，

作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，

在三角形ADB中，由余弦定理可得，

則AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BC，

又AD∩PD=D，∴BC⊥平面PAD，則PA⊥BC．