Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+mx（m為常數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當 時，設 的兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）恰為h（x）=2lnx﹣ax﹣x2的零點，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x＞0，

當m＜0時，由1+mx＞0，解得 ，

即當 時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

由1+mx＜0解得 ，即當 時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當m=0時， ，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當m＞0時，1+mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

所以當m＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ；

當m≥0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）

（2）解：由 得 ，

由已知x2+mx+1=0有兩個互異實根x1，x2，

由根與系數(shù)的關系得x1+x2=﹣m，x1x2=1，

因為x1，x2（x1＜x2）是h（x）的兩個零點，

故 ① ②

由②﹣①得： ，

解得 ，

因為 ，得 ，

將 代入得：

= = ，

所以 ，

設 ，因為 ，

所以 ，所以 ，

所以 ，所以t≥2．

構造 ，得 ，

則 在[2，+∞）上是增函數(shù)，

所以 ，即 的最小值為

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，得到x1+x2=﹣m，x1x2=1，求出 的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．