Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，短軸的兩個頂點與，構成面積為2的正方形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓在軸的右側交于點，，以為直徑的圓經過點，的垂直平分線交軸于點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：根據正方形定義可得，再根據，求出，的值即可求出橢圓的方程；設，，直線：，聯立橢圓方程，根據韋達定理結合求出，給出方程，求出兩點坐標，結合題意求出直線方程

解析：（Ⅰ）因為橢圓短軸的兩個端點和其兩個焦點構成正方形，所以，

因為，所以，，

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，，直線：，顯然，

由，得，

由韋達定理得，，

，

，

，

由，得，

即，得，即，

點，

所以線段的中垂線方程為，

令，可得，，

由，得，

將代入上式，得，整理為，解得，

所以，或，，

經檢驗滿足題意，所以直線的方程為或.