Question

【題目】設，函數.

（1）求的單調遞增區間；

（2）設，問是否存在極值，若存在，請求出極值，若不存在，請說明理由；

（3）設是函數圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，直線的斜率為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時， 的單調遞增區間為；當時， 的單調遞增區間為

（2）時， 無極值； ， 有極大值，無極小值.（3）見解析.

【解析】試題分析：

本題考查導數在研究函數中的應用以及不等式的證明。（1）求導后根據導函數的符號判斷求解。（2）由題意得，求導數后根據函數的單調性求極值即可。（3）由題意要證，即證，即證，即證，令， ，故只需證，構造函數根據單調性證明即可。

試題解析：

（1）解：函數的定義域為上，

由題意得。

①當時，則恒成立， 上單調遞增。

②當時，由，得，

∴的單調遞增區間為。

綜上可得，當時， 的單調遞增區間為；當時， 的單調遞增區間為

（2）由題意得，

∴

當時，恒有， 在單調遞增，故無極值；

當時，令，得

當， ， 單調遞增；

當， ， 單調遞減.

∴當時， 有極大值，且極大值為，無極小值。

綜上所述，當時， 無極值；當， 有極大值，無極小值.

（3）證明：由題意得

又，

∴。

要證，即證，

設，

即證，

即證

設，只需證

即證，

設，

則

∴在上單調遞增，

因此，

∴。

∴成立.