Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜ ＜1.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2 ，即f′（x）≥0，當且僅當ex=e﹣x即x=0時，f′（x）=0，
∴函數f（x）在R上為增函數．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
則g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]
=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]
=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．
①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，
∴當2b≤4，即b≤2時，g′（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，
從而g（x）在R上為增函數，而g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．
②當b＞2時，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即 ，得 ，此時，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，當 時，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．
（Ⅲ）∵1.4142＜ ＜1.4143，根據（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
為了湊配ln2，并利用 的近似值，故將ln 即 代入g（x）的解析式中，
得 ．
當b=2時，由g（x）＞0，得 ，
從而 ；
令 ，得 ＞2，當 時，
由g（x）＜0，得 ，得 ．
所以ln2的近似值為0.693
【解析】對第（Ⅰ）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；
對第（Ⅱ）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數即可，從而問題轉化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；
對第（Ⅲ）問，根據第（Ⅱ）問的結論，設法利用 的近似值，并尋求ln2，于是在b=2及b＞2的情況下分別計算 ，最后可估計ln2的近似值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．