Question

【題目】(2018·湖北襄陽模擬)已知橢圓C： (a>b>0)的焦點為F1，F2，P是橢圓C上一點，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如果橢圓C上總存在關于直線y＝x＋m對稱的兩點A，B，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據三角形面積公式得PF1PF2，根據PF1⊥PF2利用勾股定理解得PF1+PF2，即得a，（2）設直線AB方程，與橢圓方程聯立，根據韋達定理求AB中點坐標，根據AB中點坐標在橢圓內部得實數m的取值范圍．

試題解析：(1)設|PF1|＝m，|PF2|＝n.

∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面積為1，

∴m2＋n2＝(2)2，m＋n＝2a， mn＝1，解得a＝2，又c＝，

∴b2＝a2－c2＝1.∴橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)設AB的方程為y＝－x＋n.

聯立化為5x2－8nx＋4n2－4＝0，

Δ＝64n2－20(4n2－4)>0，解得－<n<.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2n＝.

線段AB的中點在直線y＝x＋m上，

∴＝＋m，解得n＝－m.

代入－<n<，可得－<－<，解得－<m<，

∴實數m的取值范圍是.