Question

已知函數g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數且在（0，+∞）上為減函數，函數f(x)=mx2+ax-

a

4

+

1

2

在區間[0，1]上的最大值為2，試求實數m，a的值．

Answer 1

因為函數g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數且在上為減函數，所以有

m2-m-1=1 m2+2m-3＜0

解得m=-1．
∴f(x)=-x2+ax-

a

4

+

1

2

=-(x-

a

2

)2+

1

2

-

a

4

+

a2

4

----------5’
①當

a

2

＜0，即a＜0時，[0，1]是f（x）的單調遞減區間，
∴f(x)max=f(0)=

1

2

-

a

4

=2
∴a=-6＜0，
∴a=-6--------7’
②當0≤

a

2

＜1，即0≤a＜2時，f(x)max=f(

a

2

)=

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2，
解得a=-2（舍）或a=3（舍）----------9’
③當

a

2

≥1，即a≥2時，[0，1]為f（x）的單調遞增區間，
∴f(x)max=f(1)=-1+a-

a

4

+

1

2

=2，解得a=

10

3

--------11’
綜合①②③可知a=-6或a=

10

3

--------12’