Question

【題目】如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點．

（1）若，求曲線的方程；

（2）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；

（3）對于（1）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）本題曲線方程的求法實質為待定系數法，即根據條件列出兩個方程組，解出對應參數即可（2）本題證明方法為以算代證，即先求出弦的中點坐標，再代入雙曲線漸近線方程進行驗證.先根據條件設出直線方程，與橢圓方程聯立方程組，根據韋達定理及中點坐標公式求出弦中點橫坐標（或縱坐標），代入直線方程可得弦中點縱坐標（或橫坐標），再代入雙曲線另一漸近線方程進行驗證.

（3）三角形的面積可轉化為等于兩個三角形面積之差，即，所以只需根據直線方程（設直線斜率）與橢圓方程，利用韋達定理表示出，并根據判別式大于零列出直線斜率取值范圍，最后根據基本不等式求最值.

（1）

則曲線的方程為和

（2）曲線的漸近線為 ,如圖，設直線

則

又由數形結合知

設點，則，

即點 在直線上

（3）由（1）知，曲線，點

設直線的方程為

設由韋達定理：

令,則

，當且僅當即時等號成立

時，