Question

在△ABC中，a，b，c分別表示三個內角A，B，C的對邊，如果（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），判斷三角形形狀．

Answer 1

分析：先利用正弦定理求得a=ksinA，b=ksinB代入題設等式中得（sin²A+sin²B）sin（A-B）=（sin²A-sin²B）sin（A+B） 利用兩角和公式化簡整理，求得sinAsinB（sin2A-sin2B）=0，根據sinA＞0，sinB＞0求得sin2A=sin2B，進而求得A=B，或A+B=

π

2

，最后答案可得．

解答：解：由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

=k
則a=ksinA，b=ksinB
代入（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），并把k約分
（sin²A+sin²B）sin（A-B）=（sin²A-sin²B）sin（A+B）
sin²Asin（A-B）+sin²Bsin（A-B）=sin²Asin（A+B）-sin²Bsin（A+B）
sin²A[sin（A+B）-sin（A-B）]=sin²B[sin（A-B）+sin（A+B）]
利用和角公式，整理有
sin²A2cosAsinB=sin²B2sinAcosB
sin²A2cosAsinB-sin²B2sinAcosB=0
sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0
sinAsinB（sin2A-sin2B）=0
sinA＞0，sinB＞0
所以sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180度
A=B或A+B=90度
所以是等腰三角形或直角三角形

點評：本題主要考查了兩角和公式，正弦定理的應用．解題的關鍵是熟練掌握這些公式及變形．