Question

【題目】已知點(diǎn)O是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，判斷結(jié)論：“若，則該四邊形必是矩形，且O為四邊形的中心”是否正確，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】該結(jié)論不正確,見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)O是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作且，連接，過(guò)點(diǎn)B作且，連接，，利用平面向量加法的平行四邊形法則，可證得點(diǎn)O為與的中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)；同理可證得點(diǎn)O也為與的中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)，故點(diǎn)O是四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，且該四邊形不一定是矩形.

該結(jié)論不正確．

當(dāng)四邊形是矩形，點(diǎn)O是四邊形的中心時(shí)，必有，反之未必成立．

如圖所示，設(shè)O是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)A作且，連接，則四邊形為平行四邊形，

設(shè)與的交點(diǎn)為M．過(guò)點(diǎn)B作且，連接，，

則四邊形為平行四邊形，

設(shè)與交于點(diǎn)N，于是M，N分別是，的中點(diǎn)．

∴，．又，

∴，且點(diǎn)O是公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在，上，

故M，O，N三點(diǎn)共線，且點(diǎn)O為的中點(diǎn)，

即點(diǎn)O為與的中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)．

同理可證：點(diǎn)O也為與的中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)O是四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，且該四邊形不一定是矩形．